Дружні числа

Два натуральних числа називають дружніми числами, сума всіх дільників першого (за винятком самого числа) дорівнює другому числу, а сума всіх дільників другого числа (за винятком самого числа) дорівнює першому числу.

Наприклад для 220 такими дільниками є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 і 110 сума яких дорівнює 284, а для 284 дільниками є 1, 2, 4, 71, і 142 сума яких дорівнює 220.

Отже, (220,284) є парою дружніх чисел. Їх було знайдено учнями Піфагорійської школи

Найменшими парами дружніх чисел є (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084).

В історії математики вони були обчислені в різних країнах і в різний час:

1. 220 і 284 ( Піфагор, близько 500 до н. е..)
2. 1184 і 1210 (Ніколо Паганіні (тезка великого скрипаля), 1860)
3. 2620 і 2924 ( Л.Ейлер, 1747)
4. 5020 і 5564 ( Л.Ейлер, 1747)
5. 6232 і 6368 ( Л. Ейлер, 1750)
6. 10744 і 10856 ( Л.Ейлер, 1747)
7. 12285 і 14595 (Браун, 1939)
8. 17296 і 18416 ( Ібн ал-Банна, близько 1300, П'єр Ферма, 1636)
9. 63020 і 76084 ( Л.Ейлер, 1747)
10. 66928 і 66992 ( Л. Ейлер, 1750)
11. 67095 і 71145 ( Л.Ейлер, 1747)
12. 69615 і 87633 ( Л.Ейлер, 1747)
13. 79750 і 88730 (Рольф (Rolf), 1964).

Ейлер дав список 64 пар таких чисел, хоча деякі потрапили в список дружніх чисел помилково. У 1867р. 16-літній Ніколо Паганіні (тезка геніального скрипаля) встановив, що 1184 і 1210 дружні числа, їх прогледіли всі відомі математики. Зараз відкрито понад 600 пар дружніх чисел.  Усі знайдені пари таких чисел однакової парності. Коли обидва числа пари непарні, число 3 є їх спільним дільником. Невідомо, яка потужність множини пар дружніх чисел і чи поширюються відомі властивості цих пар на всі пари.
Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а інше не парне? Існує загальна формула, що описує всі дружні пари? На ці та інші питання відповіді поки не знайдені.