Досконалі числа

Через складність знаходження досконалих чисел і їх таємничу непосяжність в давнину вони вважались божественними. Так, середньовічна церква вважала, що вивчення досконалих чисел веде до спасіння душі і тому хто знайде наступне досконале число гарантоване вічне блаженство. Існувало також переконання, що світ саме тому прекрасний, що створений за 6 днів, а людство не досконале, тому що походить від недосконалого числа 8, оскільки 8 людей врятувалося на Ноєвому ковчезі від всесвітнього потопу. Проте на тому ж ковчезі врятувалося ще 7 пар нечистих і 7 пар чистих тварин, що в сумі становить 28 — досконале число. Існує чимало подібних збігів. Наприклад руки людини можна назвати досконалим знаряддям, оскільки в 10 пальцяхзнаходиться 28 фаланг.

Досконале число — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх своїх дільників, крім самого числа.

Перші два досконалі числа були відомі ще в глибоку давнину. 
Найменшим досконалим числом є число 6: 6 = 3+2+1.
Першим прекрасним досконалим числом, про яке знали математики Стародавньої Греції, було число "6". На шостому місці на урочистому бенкеті возлежав найповажніший, найпочесніший гість. У біблійних переказах стверджується, що світ був створений в шість днів, адже більш досконалого числа, серед відомих із них, ніж "6", немає, оскільки воно перше серед них.
 Наступне за ним 28:

28 = 14+7+4+2+1.

Мартін Гарднер вбачав у цьому числі особливий сенс. На його думку, Місяць оновлюється за 28 діб, тому що число "28" - досконале. У Римі в 1917 році при підземних роботах було відкрито дивну споруду: навколо великого центрального залу розташовані 28 келій. Це була будівля неопіфагорейскої академії наук. У ній було 28 членів. До останнього часу стільки ж членів, часто просто за звичаєм, причини якого давним-давно забуті, належало мати у багатьох вчених суспільствах. 

До Евкліда були відомі тільки ці два досконалих числа, і ніхто не знав, чи існують інші досконалі числа і скільки таких чисел взагалі може бути.

Наступні два, а саме 496 і 8 128 

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248,

8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064,…

знайшов в IV столітті до н. е. Евклід і тільки через півтори тисячі років у 1460 р. було знайдене ще одне досконале число — 33 550 336. 

До середини XX століття було знайдено ще 7 таких чисел. 

Ось перші вісім досконалих чисел;

6	33 550 336
28	8589869056
496	137438691328
8 128	2305843008139952128

З 1952 року в пошуки включились ЕОМ і якщо перше досконале число (6) одноцифрове, то 24-те має понад 12 000 знаків. В 1978 р. ЕОМ за 40 хв. роботи відшукала 24-те:, 2¹⁹¹³⁶ (2¹⁹¹³⁷ - 1).   Запис останнього зайняв би паперову смужку завдовжки понад 228 м.

Евклід не тільки відшукав два досконалих числа, а і дав ключ до пошуку парних досконалих чисел. Він довів досконалість чисел які можна представити у вигляді

,  де        - просте число . 

Лише дві тисячі років по тому Ейлер довів, що формула Евкліда містить всі парні досконалі числа. Усі відомі досі досконалі числа парні, проте не доведено, що непарних досконалих чисел не існує.

Формула Евкліда дозволяє без труднощів доводити численні

властивості досконалих чисел. 

* Всі досконалі числа трикутні. Це означає, якщо взяти досконале число куль, ми завжди зможемо скласти з них рівносторонній трикутник.

* Всі досконалі числа, крім 6 , можна записати у вигляді суми кубів послідовних  непарних натуральних чисел

* Сума величин , обернених всім дільникам досконалого числа , включаючи його самого , завжди дорівнює 2 


Багатокутники також мають зв'язок з досконалими числами
Квадрат: 4 сторони + 2 діагоналі = 6 – досконале число
Восьмикутник: 8 сторін + 20 діагоналей = 28 – досконале число
32-кутник: 32 сторони + 464 діагоналей = 496 – досконале число.

В XVII столітті досконалі числа шукав французький математик Марен Мерсенн. Він припустив, що при р = 17, 19, 31, 67, 127 і 257 формула Евкліда дає досконале число. Проте перевірити своє припущення не зумів через складність обчислень. 
Правоту Мерсенна для р=17, 19 і 31 довів в XVIII столітті Леонард Ейлер. Пізніше виявилась помилковість передбачень для р=67 і 257, що не заважає називати числа вигляду 2p−1 числами Мерсенна.

На сьогодгі відомо 48 чисел Мерсенна і відповідних їм парних досконалих чисел. Починаючи з 1997 року їх пошуком займається команда розподілених обчислень з мережі Інтернет GIMPS. 

48-е число було знайдене саме так у лютому 2013 року. 

Це  2^57885161 – 1 – найбільше з відомих просте число Мерсенна.