Теореми подільності чисел

Знак  означає - ділиться на

1. Якщо аm, то і abm
Якщо один з множників ділиться на яке-небудь число, то і їх добуток ділиться на це число.


Доведення
Якщо а m, то існує таке ціле число q, що a=mq. 
Помноживши обидві частини цієї рівності на b, дістанемо ab=mbq, де bq-ціле число. 
А це й означає, що добуток ab  m.

2. Якщо am , bm, то (а+b)m 
Якщо кожний з доданків ділиться на яке-небудь число, то і їх сума ділиться на те саме число.

Доведення
Нехай кожне з чисел а i b ділиться на m. 
Це означає, що існують цілі числа q₁, q₂ такі, що 
a=mq₁, b=mq₂.
Додамо ці  рівності почленно:
a+b=mq₁+mq₂=m(q₁+q₂) 
Оскільки q₁+q₂ - число ціле,  то m(q₁+q₂) m, а це означає, що і

(a+b)m.

Так само можна довести теорему для будь-якого числа доданків.

3. Якщо am , bm, то (а-b)m
Якщо зменшуване і від'ємник діляться на яке-небудь число, то і різниця ділиться на це число.

Доведення
Нехай зменшуване і від'ємник ділиться на число m, це означає, що 
a=mq₁, b=mq₂. 
Запишимо різницю:
a-b=mq₁-mq₂=m(q₁-q₂). 
Оскільки q₁-q₂ – ціле число, то m(q₁-q₂)m, a це означає, що і 
(a–b)m.

4. Якщо всі доданки, крім одного, діляться на якесь число, то сума не ділиться на це число.

5. Якщо сума і всі доданки, крім одного, діляться на яке-небудь число, то й цей один доданок ділиться на це число.